Основополагающие теоретические исследования частотных характеристик магнитной проницаемости ферромагнитных материалов можно найти в трудах по теории ферромагнетизма [1,2,3 ] и в специальных работах посвященных технологии изготовленияферромагнитных материалов [4,5,6 ].

К сожалению полученные в них результаты не нашли широкого применения в современной теории и практики проектирования радиоэлектронных и электротехнических устройств.

Цель настоящей статьи — привлечь внимание специалистов-разработчиков РЭА к затронутой теме. Использование полученных в ней результатов позволит повысить точность инженерных расчетов

Готовы осуществлять консультации по затронутым вопросам. Надеемся на взаимовыгодное сотрудничество в вопросах проектирования индуктивных элементов, адаптированных к особенностям и условиям работы Вашей аппаратуры.

При проектировании широкого класса радиоэлектронных изделий различного функционального назначения разработчикам аппаратуры необходимо знать частотные характеристики сопротивления дросселей в широком диапазоне частот. Известно, что комплексное сопротивление дросселя с сердечником может быть вычислено по формуле:

Где µ0 - абсолютная магнитная проницаемость сердечника;

µ - магнитная проницаемость материала сердечника;

W - число витков обмотки дросселя;

Sc - эффективное сечение магнитопровода;

lc - средняя длина силовой линии;

L - индуктивность дросселя;

p - комплексный оператор Лапласа.

В выражении (1) перечисленные выше коэффициенты не зависят от частоты.

В реальности же магнитная проницаемость ферромагнитных материалов μ зависит от частоты.

В технической литературе магнитную проницаемость принято представлять комплексным числом с частотно-зависимыми вещественной и мнимой частями [1,4,5].

µ=µ'ω+jµ''(ω)

В каталогах фирм производителей ферромагнитных сердечников составляющие магнитной проницаемости μ'(ω) и μ''(ω) приводятся в виде графиков см. рис. 1., экспериментально измеренных для тех или иных магнитных материалов [7,8].

Каких-либо теоретических комментариев, поясняющих характер представленных зависимостей, в указанной литературе не приводится

В тоже время для проведения аналитических расчетов различных технических устройств (широкополосных трансформаторов, фильтров и т.п) комплексное сопротивление индуктивности удобно подставлять в виде дробно-рациональной функции от ϳω с вещественными положительными коэффициентами, вычисленными через параметры, характеризующими физические свойства материала сердечника и определяющие его поведение в магнитном поле. Желаемое представление можно получить, используя результаты, опубликованные в работах [1,4,5].

В них ферромагнетик рассматривается как некая доменная структура, находящаяся в отсутствии магнитного поля в равновесном состоянии и характеризующаяся начальной намагниченностью М0 1) . При воздействии на материал магнитным полем напряженностью Н доменная структура выходит из своего равновесного состояния и переходит в состояние с намагниченностью М 2).

В свою очередь согласно с [1..6] изменение намагниченности материала М приводит к изменению положения доменных границ, которое может быть охарактеризовано величиной смещения положения доменной границы при равновесной намагниченности M0 до положения доменной границы при намагниченности М:

X=│X0-X│, где

X0=0 – положение доменной границы при намагниченности M0

X – положение доменной границы при намагниченности М

_________________________________________________________________

Под намагниченностью М понимается [2,3] величина:

M=∑PmV, где

Pm – суммарный магнитный момент доменов, находящихся в достаточно малом объеме V

В переменном магнитном поле Н(t) намагниченность М=М(t)

_________________________________________________________________

В указанных выше работах, исходя из законов механики, движение доменных границ описывается феноменологическим уравнением в следующем виде:

FИ+FT+FY=FM, (2)

где FИ=md2xdt2 – сила инерции движения доменной границы с эффективной массой m;

FT=-βdxdt – сила трения;

β – коэффициент трения;

Fy=kx – упругая сила доменных границ;

k – коэффициент упругости;

FM=2µ0MsH – сила, действующая на доменную границу со стороны магнитного поля H

Мs – намагниченность насыщения;

µ0 – магнитная проницаемость в вакууме

Коэффициенты m,β,k феноменологического уравнения (2) могут быть определены из соответствующих экспериментов [4] или, как это будет показано далее - из частотных характеристик µ(p) или z(p)

Подставляя в (2) значения соответствующих слагаемых, получим:

md2xdt2+βdxdt+kx=2µ0MsH (3)

Как видно из (3), движение доменных границ описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

В процессе движения доменных границ, когда вся энергия движения переходит в потенциальную энергию упругих сил, движение x(t) замедляется и первыми членами в уравнении (3) можно пренебречь. Тогда можем записать:

kx=2µ0MsH

Для медленных процессов

H=Bµ0µн,

где µн - начальная магнитная проницаемость.

Следовательно:

x=2MsBµнk (4)

Подставляя (4) в (2) получим:

md2Bdt2+βdBdt+kB=µ0µHkH . (5)

Перейдя в уравнении (4) от оригиналов к изображениям, получим:

mp2Bp+βpBp+kBp=µ0µнkH(p), (6)

Где p – оператор Лапласа,

B(p), H(p) – изображения временных функций B(t) и H(t) соответственно.

Тогда:

B(p)H(p)=µ0µнkmp2+βp+k=µ0µнmkp2+βkp+1=µ0µнT2p2+2ξTp+1=µ0µ(p) . (7

Из структуры операционного уравнения (7) следует, что передаточная функция B(p)H(p) в переменном магнитном поле является колебательным звеном второго порядка с параметрами:

T0=mk = 1w0 – постоянная времени колебательного звена;

w0 – круговая частота собственных колебаний доменной структуры;

ξ=km β= βT0 – коэффициент затухания колебаний доменных структур;

K=µ0µН – коэффициент передачи по постоянному сигналу.

Анализируя (7) можно увидеть, что для низких частот ( ω≪ω0=1T0) µp≅µн, тогда уравнение (7) преобразуется к общеизвестному виду (8):

Если же частота колебаний Н(t) близка или выше ω0, необходимо пользоваться соотношением (7).

Зная комплексное выражение для µ(p), найдем выражение для комплексного сопротивления дросселя Z(p).

Для этой цели запишем известные соотношения для эдс контура E(t), охватывающего поток Ф(t) и напряженности магнитного поля в сердечнике H(t):

Et=-dФdt=-dBtScWdt=-dB(t)dtScW , (8.1)

Где E(t)- напряжение на клеммах дросселя;

I(t) – ток в обмотке дросселя;

Sc – площадь сечения сердечника;

lc – средняя длина силовой линии сердечника;

W – количество витков в катушке дросселя.

Переходя в (7.1) и (7.2) от оригиналов к изображениям получаем:

Подставляя (8.3) и (8.4) в (7) , получим:

E(p)pScIpWlc=µ0µ(p).

Тогда для полного комплексного сопротивления дросселя можно записать

Zp=E(p)I(p)=pµ0µpW2Sclc. (9)

Или в развернутом виде:

Zp=µнµ0W2SclcpT02p2+2ξT0p+1=pLT02p2+2ξT0p+1. (10)

Для низких частот, когда µp≅µн , выражение (9) преобразуется в известное соотношение (1).

На практике с достаточной для инженерных расчетов точностью при вычислении Z(p) можно пользоваться формулой (1),

если частота ω<

Если же ω>

, то следует пользоваться формулами (9) или (10).

Из выражения (10) следует, что функция полного комплексного сопротивления дросселя Z(p) является дробно рациональной с положительными вещественными коэффициентами. Степень полинома числителя дроби не более чем на единицу отличается от степени полинома знаменателя. Следовательно, функция z(p) удовлетворяет критерию физической реализуемости двухполюсников на сосредоточенных элементах типа R, C, L. Поэтому найденному представлению (10) для Z(p) может быть поставлена во взаимно-однозначное соответствие электрическая схемазамещения, изображенная на рис. 2.

Для схемы замещения рис.2 можем записать:

Zэp=E(p)I(p)=1pCэ+1pLэ+1RЭ=plэp2LэCэ+pLэRЭ+1. (11)

Введем обозначения:

Tэ=LэCэ ;

ξэ=12LЭСэ1Rэ=12ρэRэ, где ρэ=LэСэ .

Тогда (11) можно преобразовать к виду:

zэp=pLэP2Tэ2+2Tэξэ+1 . (12)

Очевидно, что двухполюсник рис.2 может рассматриваться как схема замещения дросселя с сердечником с общим сопротивлением z(p), определяемым выражением (12), если Zp=Zэ(p).

В свою очередь данное равенство справедливо, если:

Lэ=L ;

ξэ=ξ ;

Tэ=T0=1ω0 .

В данном случае (с учетом введенных выше обозначений) для определяемых значений параметров эквивалентной схемы рис.2 можем записать:

LЭ=L ; (13а)

Cэ=T2L=1w02L=14π2f02L ; (13б)

Rэ=LT1ξ=w0Lξ=2πf0ξ ; (13в)

где f0=ω02π – частота резонанса цепи рис.2 в Герцах.

Из полученных соотношений 13а,б,в следует, что для того чтобы вычислить искомые величины LЭ, Сэ, RЭ необходимо знать постоянные коэффициенты f0, ξ, k исходного дифференциального уравнения (7). В работе [ 4] приведены формулы для вычисления этих коэффициентов, выраженные через параметры, характеризующие свойства материала сердечника, контролируемые в процессе изготовления. В документации на поставку указанных изделий рассматриваемые сведения не приводятся. В настоящей работе коэффициенты f0, ξ, k предлагается определять по частотным характеристикам µ'pи µ"(p), которые, как правило, приводятся производителями сердечников (см., например,рис.1). Для получения необходимых соотношений преобразуем выражение (7) к форме с выделенными вещественной - µ'(p) и мнимой - µ"(p) частями, сделав подстановку p=jω:

B(jω)H(jω)=B(pH(p) p=jω =µ0µн(1-T02ω2+2Tξωj=

=µ0µН(1-T02ω2)(1-T02ω2)2+(2T0ξω)2+j-2Tξωµ0µН(1-T02ω2)2+(2T0ξω)2=

=µ0(µ'w+jµ"(w)), (14)

где:

µ'p=µн1-T02ω2(1-T02ω2)2+(2T0ξω)2 - (14а)

- действительная часть µ(p);

µ"(p)=-2T0ξωµН(1-T02ω2)2+(2T0ξω)2 - (14б)

- мнимая часть µ(p).

Из определенных соотношением (14) формул для частотных характеристик µ'(w) и µ"(w) могут быть построены соответствующие графики (см. рис.3).

Из полученных соотношений (14), (14а), (14б) нетрудно получить следующие величины:

K=B(0)H(0)=µ0µН – коэффициент передачи для постоянного сигнала;

ω0=1T0 – круговая резонансная частота ферромагнитного материала;

µ'ω0=µн2ξ – значение модуля мнимой части µ(ω) на резонансной частоте;

µ'0=│µjω││ω=0=µн – значение модуля действительной части µ(ω) на нулевой частоте.

По найденным выше величинам определим искомые значения ω0 и ξ,

где ω0 – соответствует частоте, на которой модуль частотной характеристики µ"(ω) достигает максимума (см. рис.3).

ξ=12µ'(0)µ"(ω0); (15)

Таким образом для искомых значений Lэ, Сэ, Rэ (с учетом выражений (13) и (15)) можем в окончательном виде записать:

LЭ=L; (16а)

Cэ=1ω02L; (16б)

Rэ=2ω0Lµ"(ω0)µ'(0); (16в)

где ω0 – определяется по графику частотной характеристики мнимой части µ"(ω), как частота на которой µ"(ω) достигает экстремального значения;

µ'(0) – значение модуля частотной характеристики действительной части µ(ω) на нулевой частоте;

µ"(ω0) – значение модуля частотной характеристики, на которой µ"(ω) достигает своего экстремального значения.

Интересно отметить, что искомые значения LЭ, Сэ, Rэ могут быть также получены если вместо µ'ωи µ"(ω) использовать временные характеристики – импульсную или переходную, а также логарифмические амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики колебательного звена.

Указанная возможность рядом авторов [4,5] использовалась, например, для экспериментального определения постоянных коэффициентов, входящих в исходное феноменологическое уравнение (3) и позволило им определить возможные способы изменения динамических свойств создаваемых магнитных материалов.

Для примера в таблице 1 представлены результаты расчетов параметров эквивалентной схемы рис.2 для различных материалов и значений индуктивностей. Анализ величин Сэ , представленных в таблице1, позволяет сделать следующие выводы:

для низких частот собственного резонанса сердечников и малых значений индуктивности расчетное значение Сэвелико в сравнении с ёмкостями «монтажа» и межвитковыми ёмкостями катушки дросселя и последними в расчетах можно пренебречь.

для высоких частот и больших значений индуктивности Сэ мало и в предлагаемой эквивалентной схеме (рис.2) следует эквивалентную схему рассчитывать по формуле:

Cобщ.=Сэ+СМ+СМВ,

где Cобщ. – общая суммарная ёмкость;

Сэ – ёмкость, рассчитанная по формуле (16б);

СМ – монтажная ёмкость;

СМВ – межвитковая ёмкость катушки дросселя.

В рассматриваемых выше моделях не учитывались потери в обмотке дросселя. При необходимости их можно учесть, если последовательно с цепью рис.2 включить резистор с омическим сопротивлением, равным сопротивлению обмотки дросселя по постоянному току, либо с учетом скин-эффекта.

В случаях, когда скин-эффект оказывает существенное влияние на рассчитываемые параметры чисто омическое сопротивление обмотки может быть представлено более сложной схемой замещения, содержащей соответствующие эквивалентные элементы Rэ обм, Lэ обм.

Полученные выше результаты, строго говоря получены для режимов работы дросселей без постоянного подмагничивания. Для того, чтобы учесть эффект подмагничивания в исходном уравнении (5) функции В(t) и H(t) представим в виде:

Bt=B~(t)+B=;

Ht=H~(t)+H=;

где B~(t), H~(t) – переменные составляющие соответствующих временных функций;

B=,H= - постоянные составляющие, определяющие режим подмагничивания.

Будем полагать также, что:

│B~(t)│≪B=;

│H~(t)│≪H=.

Учитывая, что

dB(t)dt=ddtB~t+B==dB~(t)dt;

dH(t)dt=ddtH~t+H==dH~(t)dt,

исходное уравнение (5) можно записать в виде:

mkd2dt2B~t+βkddtB~(t)+B~(t)+B==µ0µHk(H~t+H=), (17)

где µ(H) – значение магнитной проницаемости в рабочей точке подмагниченности, пока неизвестное.

Для определения µ(H) учтем, что на низких частотах в уравнении (17) слагаемыми с производными можно пренебречь.

Для этого случая запишем:

B~t+B=≈µ0µHk(H~t+H=t).

Затем, учитывая что

│B~(t)│≪B=,

│H~(t)│≪H=,

получим B=≈µ0µ(H)kH= (18)

С учетом (18) уравнение (17) может быть записано в виде:

mkd2dt2B~t+βkddtB~t+B~(t)+µ0µ(H)kH==µ0µHkH~t+µ0µ(H)kH=

Тогда, после приведения подобных членов, можно записать:

mkd2dt2B~t+βkB~t+B~t=µ0µHkH~t=µ0kµ0B=H=kH~t=B=H=H~(t). (19)

Переходя в уравнении (19) от оригиналов к изображениям и учитывая, что ранее нами были введены подстановки:

mk=T02,

βk=2ξT0,

получим:

B~(p)H~(p)=B=H=T02p2+2ξT0p+1 (20)

Сравнивая выражение (20), полученное нами с учетом подмагничивания с аналогичным выражением без учета подмагничивания (7), можно увидеть, что эффект подмагничивания сердечника влияет исключительно только на значение числителя дробно-рациональной функции B~(p)H~(p). Это позволяет учитывать эффект подмагничивания введением коэффициента подмагничивания γп=B=H=µ0µН,

где H= - постоянная составляющая напряженности магнитного поля в сердечнике;

B=- постоянная составляющая магнитной индукции в сердечнике;

µн – начальная магнитная проницаемость сердечника.

В этом случае при фиксированных B=и H= отношение

B~(p)H~(p)B(p)H(p)=B=H=µ0µН=γ – постоянная величина, и уравнение (20) удобно представить в виде:

B~(p)H~(p)=γпµ0µнT2p2+2ξTp+1=γпµ0µ(p) (21)

Тогда для комплексного сопротивления дросселя с учетом подмагничивания можем записать:

zp,H=, B==pγпµ0µ(p)W2Sclc (22)

Из (21) и (22) следует, что подмагничивание из-за нелинейности основной характеристики подмагничивания – рис.4 изменяет значение γп и, следовательно – уровень частотных характеристик µw, µ'w, µ"(w) и z(w) не изменяя при этом рассматриваемые нами динамические характеристики T0 и ξ.

В этом случае при расчете элементов эквивалентной схемы замещения с учетом подмагничивания можновоспользоваться следующими формулами:

LЭ=µ0γпµнSclcW2=γпL ; (22а)

Cэ= 1ω02L=14π2f02L; (22б)

ξ= 12µ'(0)µ"(ω0); (22в)

T= 1ω0. (22г)

Сопоставление частотных характеристик z(p), полученных на основе эквивалентной схемы рис.2 и формул (16 а,б,в) и (22 а,б,в) с соответствующими характеристиками, приведенными в документации на соответствующие магнитные материалы, указывает на хорошее совпадение в диапазоне частот, где │µp│≥µмин. На более высоких частотах имеются значительные расхождения. Причиной выявленных расхождений является то, что в выражениях (7) и (21) limµjw│w→0=0.

В действительности же,

limµjw│w→0=µмин≠0.

С учетом изложенного, для повышения точности расчетов z(p) в более широком диапазоне частот может быть предложена схема замещения рис.5.

Данная схема замещения получена в предположении, что магнитная проницаемость, подставляемая в выражения (7) и (21), может быть записана в виде:

µрезp=µp+µmin.

В этом случае:

zрp=pµ0µp+µminW2Sl=zp+pLmin ,

zрp,H=, B==zp,H=,B=+pLmin .

И, следовательно, может быть использована эквивалентная схема рис.5.

Выводы:

Рассмотрены две модели для расчета полного комплексного сопротивления дросселя в широком диапазоне частот. Одна модель – на основе дифференциального феноменологического уравнения доменных границ. Вторая – на основе электрической схемы замещения дросселя.

Для предлагаемых для расчета частотных характеристик моделей получены соотношения, определяющие их взаимно-однозначное соответствие.

Разработана удобная на практике инженерная методика расчета элементов предлагаемой эквивалентной схемы.

Внедрение предлагаемой эквивалентной схемы замещения дросселей в практику проектирования позволит производить более точные расчеты электрических режимов работы аппаратуры в широком диапазоне частот.